范围

范围是一个按递增或递减顺序排列的数字数组，每两个数之间间隔固定步长。 范围在大量场景中都出乎意料地有用，因此值得学习。

范围使用 np.arange 函数定义，该函数接受一个、两个或三个参数：起始值、结束值和步长。

如果只向 np.arange 传递一个参数，则该参数成为 end 值，start=0、step=1 为默认值。两个参数给出 start 和 end，step=1 为默认值。三个参数则显式给出 start、end 和 step。

一个范围总是包含其 start 值，但不包含其 end 值。它按 step 递增计数，并在到达 end 之前停止。

np.arange(end): 一个从 0 开始的递增连续整数数组，在 end 之前停止。

注意数组从 0 开始，只到 4 为止，而不是到结束值 5。

np.arange(start, end): 从 start 开始的连续递增整数数组，在 end 之前停止。

np.arange(start, end, step): 一个范围，每对连续值之间的差值为 step，从 start 开始，在 end 之前停止。

该数组从 3 开始，然后步进 5 到达 8，再步进 5 到达 13，依此类推。

当你指定步长时，起始值、结束值和步长都可以为正数或负数，也可以是整数或分数。

示例：莱布尼茨的 $\pi$ 公式

伟大的德国数学家和哲学家 戈特弗里德·威廉·莱布尼茨 （1646-1716）发现了一个关于 $\pi$ 的精妙公式，将其表示为简单分数的无穷级数。该公式是

$$\pi = 4 \cdot \left(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \frac{1}{11} + \dots\right)$$

虽然需要一些数学知识来证明这个公式，但我们可以使用数组让自己相信该公式的正确性。让我们计算莱布尼茨无穷级数的前 5000 项，看看它是否接近 $\pi$。

$$4 \cdot \left(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \frac{1}{11} + \dots - \frac{1}{9999} \right)$$

我们将先加所有正项，再减去所有负项的和，来计算这个有限和 [1]：

$$4 \cdot \left( \left(1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{9997} \right) - \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \dots + \frac{1}{9999} \right) \right)$$

该求和中的正项分母为 1、5、9 等。数组 by_four_to_20 包含这些数，最大到 17：

为了获得 $\pi$ 的精确近似值，我们将使用更长的数组 positive_term_denominators。

我们实际要相加的正项就是这些分母的倒数：

负项的分母为 3、7、11 等。该数组就是 positive_term_denominators 加上 2。

总和是

这与 $\pi = 3.14159\dots$ 非常接近。莱布尼茨公式看起来不错！

(footnotes)=

脚注

[1] 令人惊讶的是，当我们将无穷多个正分数和负分数相加时，顺序确实会起作用！但我们求 $\pi$ 的近似值只用了大量有限的分数，因此按任意方便的顺序相加都是可以的。