示例：增长率
同一数量在不同时间点的两次测量之间的关系通常用增长率来表示。例如，美国联邦政府在 2002 年雇佣了 2,766,000 人，在 2012 年雇佣了 2,814,000 人。要计算增长率，我们首先需要决定将哪个值视为 initial 数量。对于随时间变化的值，较早的值是自然的选择。然后，我们将 changed 数量与 initial 数量之间的差值除以 initial 数量。
initial = 2766000
changed = 2814000
(changed - initial) / initial0.01735357917570499通常也可以将两个测量值的比值减去一，得到的结果相同。
(changed/initial) - 10.017353579175704903这个值就是 10 年间的增长率。增长率的一个有用特性是，即使数值以不同单位表示，增长率也不会改变。因此，例如，我们可以用千人为单位表示 2002 年和 2012 年之间的相同关系。
initial = 2766
changed = 2814
(changed/initial) - 10.01735357917570490310 年间，美国联邦政府雇员人数仅增长了 1.74%。同期，美国联邦政府总支出从 2.37 万亿美元增加到 2012 年的 3.38 万亿美元。
initial = 2.37
changed = 3.38
(changed/initial) - 10.4261603375527425联邦预算增长 42.6% 远大于联邦雇员增长 1.74%。事实上，联邦雇员人数的增长速度远低于美国人口的增长速度，美国人口在同一时期从 2002 年的 2.876 亿增长到 2012 年的 3.141 亿，增长了 9.21%。
initial = 287.6
changed = 314.1
(changed/initial) - 10.09214186369958277增长率可以为负值，表示某个数量的减少。例如，美国制造业工作岗位数量从 2002 年的 1530 万减少到 2012 年的 1190 万，增长率为 -22.2%。
initial = 15.3
changed = 11.9
(changed/initial) - 1-0.2222222222222222年增长率是某个数量在一年内的增长率。0.035 的年增长率，每年累积一次持续 10 年，会得到更大的十年增长率 0.41（即 41%）。
1.035 * 1.035 * 1.035 * 1.035 * 1.035 * 1.035 * 1.035 * 1.035 * 1.035 * 1.035 - 10.410598760621121同样的计算可以用名称和指数来表示。
annual_growth_rate = 0.035
ten_year_growth_rate = (1 + annual_growth_rate) ** 10 - 1
ten_year_growth_rate0.410598760621121同样，十年增长率也可以用来计算等价的年增长率。下面，t 是两个测量点之间经过的年数。以下计算了过去 10 年联邦支出的年增长率。
initial = 2.37
changed = 3.38
t = 10
(changed/initial) ** (1/t) - 10.0361361720834685310 年间的总增长相当于每年增长 3.6%。
总而言之，增长率 g 用于描述经过时间 t 后，initial 数量与 changed 数量之间的相对大小。要计算 changed，使用乘幂将增长率 g 重复应用 t 次。
initial * (1 + g) ** t
要计算 g，将总增长率取 1/t 次幂再减去一。
(changed/initial) ** (1/t) - 1